Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir definieren zunächst auf ${}D$ eine Fortsetzung

$\varphi \colon D\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{1}$

der rationalen Funktion ${}g/h$. Es sei hierzu ${}P\in D$ ein Punkt der Kurve. Bei ${}P\in D(h)$ ist nichts zu tun, sei also ${}h(P)=0$. Da die Kurve glatt ist, ist nach Fakt der lokale Ring ${}B$ der Kurve im Punkt ${}P$ ein diskreter Bewertungsring. Daher hat der Quotient ${}g/h$ dort eine Beschreibung als

${}{\frac {g}{h}}=u\pi ^{n}\,$

mit $u\in B^{\times }$ und $n\in \mathbb {Z}$ (${}\pi$ sei eine Ortsuniformisierende). Es gibt eine offene Umgebung ${}P\in D(\psi )\subseteq D$ derart, dass ${}\pi$ und ${}u$ über ${}D(\psi )$ definiert sind und ${}u$ dort eine Einheit ist. Bei ${}n\geq 0$ ist ${}g/h\in R_{\psi }$ und die Undefiniertheitsstelle ist also sogar als Abbildung nach ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ „hebbar“. Bei ${}n\leq 0$ ist der umgekehrte Bruch ${}h/g=u^{-1}\pi ^{-n}$ auf ${}D(\psi )$ definiert als eine Abbildung nach ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Mittels der „verdrehten Einbettung“ ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(t)\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ erhält man eine Abbildung nach ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$.

Wir müssen zeigen, dass diese zwei Morphismen in die projektive Gerade dort, wo beide definiert sind, übereinstimmen. Das sind die Punkte ${}P$, in denen ${}\varphi$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt. Die Verträglichkeit folgt daraus, dass in einer offenen Umgebung ${}P\in U$ eine Abbildung

$g/h\colon U\longrightarrow ({\mathbb {A} }_{K}^{1})^{\times }={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}$

vorliegt, und dass das Diagramm

${\begin{matrix}({\mathbb {A} }_{K}^{1})^{\times }&{\stackrel {i^{-1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(t)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(s)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dies ergibt einen wohldefinierten Morphismus auf dem affinen Stück ${}D$.

Für einen beliebigen Punkt der projektiven Kurve ${}C$ und eine affine Umgebung ${}P\in D'\subset C$ liegt die gleiche Situation vor, da ${}D_{+}(h)\cap D'\neq \emptyset$ ist, und somit auf einer offenen nichtleeren Menge die rationale Funktion (mit anderen Zählern und Nennern) definiert ist. Damit lässt sich das vorhergehende Argument genauso anwenden.

Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass auf jeder affinen offenen Menge ${}P\in U$ der Durchschnitt ${}U\cap D_{+}(h)$ nicht leer ist. Ein Morphismus auf einer integren Varietät in die affine Gerade ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist durch die rationale Funktion eindeutig festgelegt.

Zur bewiesenen Aussage