Beweis
Wir definieren zunächst auf
eine Fortsetzung
-
der rationalen Funktion
. Es sei hierzu
ein Punkt der Kurve. Bei
ist nichts zu tun, sei also
.
Da die Kurve glatt ist, ist nach
Fakt
der lokale Ring
der Kurve im Punkt
ein
diskreter Bewertungsring.
Daher hat der Quotient
dort eine Beschreibung als
-

mit
und
(
sei eine Ortsuniformisierende).
Es gibt eine offene Umgebung
derart, dass
und
über
definiert sind und
dort eine Einheit ist. Bei
ist
und die Undefiniertheitsstelle ist also sogar als Abbildung nach
„hebbar“. Bei
ist der umgekehrte Bruch
auf
definiert als eine Abbildung nach
. Mittels der „verdrehten Einbettung“
erhält man eine Abbildung nach
.
Wir müssen zeigen, dass diese zwei Morphismen in die projektive Gerade dort, wo beide definiert sind, übereinstimmen. Das sind die Punkte
, in denen
weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt. Die Verträglichkeit folgt daraus, dass in einer offenen Umgebung
eine Abbildung
-
vorliegt, und dass das Diagramm
-
kommutiert. Dies ergibt einen wohldefinierten Morphismus auf dem affinen Stück
.
Für einen beliebigen Punkt der projektiven Kurve
und eine affine Umgebung
liegt die gleiche Situation vor, da
ist, und somit auf einer offenen nichtleeren Menge die rationale Funktion
(mit anderen Zählern und Nennern)
definiert ist. Damit lässt sich das vorhergehende Argument genauso anwenden.
Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass auf jeder affinen offenen Menge
der Durchschnitt
nicht leer ist. Ein Morphismus auf einer integren Varietät in die affine Gerade
ist durch die rationale Funktion eindeutig festgelegt.