Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  eine glatte irreduzible ebene projektive Kurve. Es sei  ${}D=C\cap D_{+}(Z)\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  ein affines Teilstück davon. Es sei  ${}q=g/h\in Q(R)$  eine rationale Funktion (mit $g,h\in R,\,h\neq 0$).

Dann gibt es einen eindeutigen Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}D(h)&{\stackrel {g/h}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(s)&\\\downarrow &&\downarrow &\\C&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen