Beweis
Wir können
annehmen, da das Zurückziehen von Garben mit der Tensorierung verträglich ist und da der Grad
nach Aufgabe
additiv bezüglich der Tensorierung von invertierbaren Garben ist. Es sei
-
ein Schnitt, der als Polynom in kein Vielfaches von sei. Dann kann man auch als einen von verschiedenen Schnitt in
-
betrachten. Es geht um den Grad des Nullstellendivisors zu auf
.
Sei
ein Punkt der Kurve. Die Nullstellenordnung eines Schnittes einer invertierbaren Garbe kann man in einer affinen Umgebung des Punktes ausrechnen. Ohne Einschränkung sei
und
.
Die affine Gleichung der Kurve ist dann die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen und der Schnitt wird unter der Identifizierung
-
gleich der Dehomogenisierung von . Der lokale Ring der Kurve ist
-
und die Ordnung von in diesem Ring ist nach
Fakt
gleich der
-Dimension
von
-
Diese Beschreibung ist symmetrisch in
und .
Deshalb ist der Grad des Nullstellendivisors zu auf gleich dem Grad des Nullstellendivisors zu auf
.
Für ein homogenes Polynom vom Grad auf einer projektiven Geraden ist aber die Summe über alle Nullstellenordnungen gleich .