Gradientenfeld/Mehrfach auf Faser/Konstant/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass ${}\varphi$ auf dem Intervall ${}I=[t_{0},t_{1}]$ nicht konstant ist. Dann gibt es ein ${}t\in {]t_{0},t_{1}[}$ mit

${}\varphi '(t)\neq 0\,.$

Wir betrachten das Wegintegral

${}\int _{\varphi }G=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\langle G(\varphi (s)),\varphi '(s)\right\rangle ds=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\langle \varphi '(s),\varphi '(s)\right\rangle ds=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\Vert {\varphi '(s)}\Vert ^{2}ds\,.$

Hierbei beruht die mittlere Gleichung darauf, dass ${}\varphi$ eine Lösung der Differentialgleichung ist. Da ${}\varphi '(t)\neq 0$ ist, ist die Norm ${}\Vert {\varphi '(t)}\Vert$ positiv und daher ist wegen der Stetigkeit dieses Integral positiv. Andererseits ist ${}G$ ein Gradientenfeld und daher ist nach Fakt

${}\int _{\varphi }G=h(\varphi (t_{1}))-h(\varphi (t_{0}))=0\,,$

da ja ${}\varphi (t_{0})$ und ${}\varphi (t_{1})$

zur gleichen Faser gehören. Dies ist ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe