Graduierte Körpererweiterung/Q(3.sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel

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Wir betrachten die -graduierte Körpererweiterung

Die Graduierung ist durch mit gegeben. Es ist und . Da es in keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist und daher gibt es nur zwei homogene Automorphismen (somit ist dies auch keine Kummererweiterung). Dennoch handelt es sich um eine Galoiserweiterung. Zunächst gehört

zu und es ist . Ein weiterer (mit der Graduierung verträglicher) Zwischenkörper ist . Die durch gegebene Abbildung ist ein homogener Automorphismus mit . Aber auch die Zuordnung definiert einen (nicht-homogenen) Automorphismus mit . Es gibt also insgesamt Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist

und

Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss sein. Der Körper ist ein nichthomogener Zwischenkörper.