Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Garbeneigenschaft ergibt sich aus der Garbeneigenschaft von ${}{\widetilde {M}}$. Für die Quasikohärenz siehe Teil (2).
2. Für homogenes ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}=\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}_{0}=(M_{f})_{0}\,$

   nach Fakt. Somit stimmt die Garbe ${}{\widehat {M}}{|}_{D_{+}(f)}$ global auf ${}D_{+}(f)$ mit der Garbe ${}{\widetilde {(M_{f})_{0}}}$ überein. Für die offenen Teilmengen ${}D(g)\subseteq D(f)$ gelten die entsprechenden Gleichheiten, und diese Identifizierungen sind mit den Restriktionen verträglich. Daher stimmen die Garben überhaupt überein und es liegt Quasikohärenz vor.

3. Folgt aus (2) über

   ${}{\begin{aligned}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}\\&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}_{0}\\&={\left(\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}\right)}_{0}\\&={\left(M_{R\setminus {\mathfrak {p}}\cap H}\right)}_{0}\\&=M_{({\mathfrak {p}})}.\end{aligned}}$

4. Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Definition.

Zur bewiesenen Aussage