Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter kommutativer Ring und $M$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter $R$-Modul. Es sei  $Y=\mathrm{Proj}\left(R\right)$  das projektive Spektrum zu $R$ und $\hat{M}$ der zugehörige ${𝒪}_Y$-Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. $\hat{M}$ ist ein quasikohärenter Modul.
2. Zu einem homogenen Element  $f\in R_{+}$  ist

   $\mathrm{\Gamma }(D_{+}(f),\hat{M})={\left(M_f\right)}_0.$

   Ferner ist $\hat{M}$ eingeschränkt auf $D_{+}(f)$ gleich der affinen Vergarbung von ${\left(M_f\right)}_0$ auf  $D_{+}(f)=\mathrm{Spek}\left({\left(R_f\right)}_0\right)$. 

3. Zu einem homogenen Primideal  $R_{+}\subseteq ̸𝔭$  ist

   ${\hat{M}}_{𝔭}=M_{(𝔭)}.$

4. Es ist

   $\mathrm{\Gamma }(Y,\hat{M})={\left(\mathrm{\Gamma }(D(R_{+}),\tilde{M})\right)}_0.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen