Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt/Beweis

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Beweis

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für

gibt es ein homogenes Element mit . Daher ist und somit ist . Es gibt also eine Abbildung

Für ein homogenes Element ist dabei , da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Fakt ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem ist dieser durch den Ringhomomorphismus

gegeben. Bei homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus

in der nullten Stufe. Da dies nach Fakt die Schnittringe zu bzw. sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm

kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.

Zur bewiesenen Aussage