Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für

${}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(\theta (A_{+})B)=\operatorname {Proj} {\left(B\right)}\,$

gibt es ein homogenes Element ${}f\in A_{+}$ mit ${}\theta (f)\notin {\mathfrak {p}}$. Daher ist ${}A_{+}\not \subseteq \theta ^{-1}({\mathfrak {p}})$ und somit ist ${}\theta ^{-1}({\mathfrak {p}})\in \operatorname {Proj} {\left(A\right)}$. Es gibt also eine Abbildung

$\varphi \colon D_{+}(\theta (A_{+})B)\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(A\right)}.$

Für ein homogenes Element ${}f\in A_{+}$ ist dabei ${}\varphi ^{-1}(D_{+}(f))=D_{+}(\theta (f))$, da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Fakt ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem ${}D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus

$\theta _{f}\colon A_{f}\longrightarrow B_{\theta (f)}$

gegeben. Bei ${}f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus

${\left(\theta _{f}\right)}_{0}\colon {\left(A_{f}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(B_{\theta (f)}\right)}_{0}$

in der nullten Stufe. Da dies nach Fakt die Schnittringe zu ${}D_{+}(f)$ bzw. ${}D_{+}(\theta (f))$ sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm

${\begin{matrix}D_{+}(\theta (f))&{\stackrel {\varphi =\theta ^{-1}}{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} {\left((B_{\theta (f)})_{0}\right)}&{\stackrel {(\theta _{f})_{0}^{-1}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spec} {\left((A_{f})_{0}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.

Zur bewiesenen Aussage