Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für

$𝔭\in D_{+}(\theta (A_{+})B)=\mathrm{Proj}\left(B\right)$

gibt es ein homogenes Element  $f\in A_{+}$  mit  $\theta (f)\notin 𝔭$.  Daher ist  $A_{+}\subseteq ̸{\theta }^{-1}(𝔭)$  und somit ist  ${\theta }^{-1}(𝔭)\in \mathrm{Proj}\left(A\right)$.  Es gibt also eine Abbildung

$\phi :D_{+}(\theta (A_{+})B)⟶\mathrm{Proj}\left(A\right).$

Für ein homogenes Element  $f\in A_{+}$  ist dabei  ${\phi }^{-1}(D_{+}(f))=D_{+}(\theta (f))$,  da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Fakt ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem $D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus

${\theta }_f:A_f⟶B_{\theta (f)}$

gegeben. Bei $f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus

${\left({\theta }_f\right)}_0:{\left(A_f\right)}_0⟶{\left(B_{\theta (f)}\right)}_0$

in der nullten Stufe. Da dies nach Fakt die Schnittringe zu $D_{+}(f)$ bzw. $D_{+}(\theta (f))$ sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm

$\begin{array}{cccc}{D}_{+}(\theta (f))& \stackrel{\phi ={\theta }^{-1}}{⟶}& D_{+}(f)& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \mathrm{Spec}((B_{\theta (f)}{)}_0)& \stackrel{({\theta }_f{)}_0^{-1}}{⟶}& \mathrm{Spec}((A_f{)}_0)& \end{array}$

kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.

Zur bewiesenen Aussage