Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel

Es sei  $V\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge,

$h:V⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion und  $M\subset {ℝ}^n\times ℝ={ℝ}^{n+1}$  der zugehörige Graph, den wir als $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit auffassen, die zu $V$ über $(x_1,\dots ,x_n)\mapsto (x_1,\dots ,x_n,h(x_1,\dots ,x_n))$ diffeomorph ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über $0$ unter der Abbildung

$\phi :{ℝ}^{n+1}⟶ℝ,(x_1,\dots ,x_n,y)⟼h(x_1,\dots ,x_n)-y.$

Der Gradient dieser Abbildung ist

$(\frac{\partial h}{\partial x_1}(P),\dots ,\frac{\partial h}{\partial x_n}(P),-1)$

Nach Fakt liefert daher die Zuordnung

$(v_1,\dots ,v_n)\mapsto det\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial h}{\partial x_1}(P)& v_{11}& \dots & v_{n1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial h}{\partial x_n}(P)& v_{1n}& \dots & v_{nn}\\ -1& v_{1n+1}& \dots & v_{nn+1}\end{array}\right)$

eine stetige nullstellenfreie $n$-Form $\omega$ auf $M$. Wenn man diese Form über die oben beschriebene (einzige) Karte nach $V$ zurückzieht, so ist  ${\alpha }_{\ast }\omega =fd{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$,  wobei sich $f(Q)$ als Wert der Form $\omega$ im Punkt  ${\alpha }^{-1}(Q)\in M$  bezüglich der Vektoren $T_Q({\alpha }^{-1})(e_1),\dots ,T_Q({\alpha }^{-1})(e_n)$ ergibt. Wegen  $T_Q({\alpha }^{-1})(e_i)=(e_i,\frac{\partial h}{\partial x_i}(Q))$  ist dies

$f(Q)=det\left(\begin{array}{ccccc}\frac{\partial h}{\partial x_1}(Q)& 1& 0& \dots & 0\\ \frac{\partial h}{\partial x_2}(Q)& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial h}{\partial x_n}(Q)& 0& 0& \dots & 1\\ -1& \frac{\partial h}{\partial x_1}(Q)& \frac{\partial h}{\partial x_2}(Q)& \dots & \frac{\partial h}{\partial x_n}(Q)\end{array}\right)=\pm ({(\frac{\partial h}{\partial x_1}(Q))}^2+\cdots +{(\frac{\partial h}{\partial x_n}(Q))}^2+1),$

wobei das Vorzeichen von $n$ abhängt.