Grenzwerte von Funktionen/-x Logarithmus von x/x^(-x)/Aufgabe

Man betrachte die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x)={\begin{cases}-x\ln(x)&{\text{falls }}x\neq 0,\\0&{\text{falls }}x=0.\end{cases}}$

gegeben ist.

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist und dass ${}0\leq f(x)\leq {\frac {1}{e}}$ für alle ${}x\in [0,1]$ gilt.

b) Man zeige, dass die Funktionenfolge

$g_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-x\ln(x))^{n}}{n!}}$

auf ${}[0,1]$ gleichmäßig konvergiert.

c) Beweise

$\int _{0}^{1}(-x)^{m}(\ln x)^{n}dx={\frac {(-1)^{n+m}n!}{(m+1)^{n+1}}}$

für alle ${}m\geq n$.

d) Summiere die Reihe in b) und folgere

$\int _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}.$

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