Gruppe/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper $K$ zugrunde gelegt, über dem sich alles aufbaut. Der wichtigste Körper ist für uns der Körper der reellen Zahlen $ℝ$, den wir schon verwendet haben und der in der Analysis axiomatisch eingeführt wird. Wie die reellen Zahlen ist ein Körper durch die Existenz von zwei Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften festgelegt, nämlich einer Addition und einer Multiplikation. Erstaunlicherweise gehören diese beiden Verknüpfungen (bei der Multiplikation muss man die $0$ herausnehmen) für sich genommen zu einer wichtigen algebraischen Struktur: Es handelt sich um Gruppen.

Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element  $e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G⟶G,(g,h)⟼g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  $f,g,h\in G$  gilt

   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

2. Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  $g\in G$  gilt

   $g\circ e=g=e\circ g.$

3. Zu jedem  $g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  $h\in G$  mit

   $h\circ g=g\circ h=e.$

Eine Gruppe heißt kommutativ, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Wichtige Beispiele für kommutative Gruppen sind $(\mathbb{Z},0,+)$, $(ℝ,0,+)$, $(ℝ\setminus \{0\},1,\cdot )$ oder $({ℝ}^n,0,+)$ mit der komponentenweisen Null

$0=(0,0,\dots ,0)$

und der komponentenweisen Addition.

In einer Gruppe $(G,e,\circ )$ ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn nämlich $e^{\prime }$ ein weiteres Element mit der für das neutrale Element charakteristischen Eigenschaft, also

$x\circ e^{\prime }=e^{\prime }\circ x=x$

für alle  $x\in G$,  ist, so ergibt sich direkt

$e=e\circ e^{\prime }=e^{\prime }.$

Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem  $x\in G$  das Element  $y\in G$  mit

$x\circ y=y\circ x=e$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

$x\circ y=y\circ x=e$

und

$x\circ z=z\circ x=e.$

Dann ist

$y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z.$

$◻$

Abstrakte Strukturen wie Menge, Abbildung, Verknüpfung, Gruppe führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakten Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind Beispiele oder Modelle für die abstrakte Struktur (und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen). Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinanderhalten.

Die Gruppentheorie ist ein eigenständiger Zweig in der Mathematik, den wir hier aber nicht systematisch entwickeln werden. Stattdessen beschäftigen wir uns mit Ringen und vor allem mit Körpern.