Gruppe/Potenzgesetze/Textabschnitt

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und  $g\in G$  ein Element. Dann definieren wir zu jeder ganzen Zahl  $k\in \mathbb{Z}$  die $k$-te Potenz von $g$, geschrieben $g^k$, durch

$g^k=\{\begin{array}{c}{e}_G,\text{ falls }k=0,\\ gg\cdots gk\text{-mal},\text{ falls }k\text{ positiv ist},\\ g^{-1}{g}^{-1}\cdots g^{-1}(-k)\text{-mal},\text{ falls }k\text{ negativ ist}.\end{array}$

Bei additiver Schreibweise schreibt man $kg$ und spricht vom $k$-ten Vielfachen von $g$.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element. Ferner seien  $m,n\in \mathbb{Z}$  ganze Zahlen.

Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist  $g^0=e_G$. 
2. Es ist  $g^{m+n}=g^m{g}^n$. 

Beweis

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen $\ge 0$ oder beide $\le 0$ sind. Es sei also $m$ positiv und $n$ negativ. Bei  $m\ge -n$  kann man in $g^m{g}^n$ „innen“ $-n$-mal $g$ mit $g^{-1}$ zu $e_G$ kürzen, und übrig bleibt die  $m-(-n)=(m+n)$- te Potenz von $g$, also $g^{m+n}$. Bei  $m<-n$  kann man $m$-mal $g$ mit $g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die $-n-m=-(m+n)$- te Potenz von $g^{-1}$. Das ist wieder $g^{m+n}$.

$◻$

Die vorstehende Aussage werden wir später so formulieren, dass ein Gruppenhomomorphismus von $\mathbb{Z}$ nach $G$ vorliegt, siehe hierzu auch Fakt.