Gruppe/Potenzgesetze/Textabschnitt

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Sei eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und ein Element. Dann definieren wir zu jeder ganzen Zahl die -te Potenz von , geschrieben , durch

Bei additiver Schreibweise schreibt man und spricht vom -ten Vielfachen von .



Lemma  

Sei eine Gruppe und ein Element. Ferner seien ganze Zahlen.

Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .

Beweis  

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen oder beide sind. Sei also positiv und negativ. Bei kann man in „innen“ -mal mit zu kürzen, und übrig bleibt die -te Potenz von , also . Bei kann man -mal mit kürzen und übrig bleibt die - te Potenz von . Das ist wieder .


Die vorstehende Aussage werden wir später so formulieren, dass ein Gruppenhomomorphismus von nach vorliegt, siehe hierzu auch Fakt.