Gruppe/Potenzgesetze/Textabschnitt

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann definieren wir zu jeder ganzen Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ die ${}k$-te Potenz von ${}g$, geschrieben ${}g^{k}$, durch

$g^{k}={\begin{cases}e_{G},{\text{ falls }}k=0\,,\\gg\cdots g\,\,\,\,\,\,k{\text{-mal}},{\text{ falls }}k{\text{ positiv ist}}\,,\\g^{-1}g^{-1}\cdots g^{-1}\,\,\,\,\,\,(-k){\text{-mal}},{\text{ falls }}k{\text{ negativ ist}}\,.\end{cases}}$

Bei additiver Schreibweise schreibt man ${}kg$ und spricht vom ${}k$-ten Vielfachen von ${}g$.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Ferner seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen.

Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Beweis

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${}\geq 0$ oder beide ${}\leq 0$ sind. Es sei also ${}m$ positiv und ${}n$ negativ. Bei ${}m\geq -n$ kann man in ${}g^{m}g^{n}$ „innen“ ${}-n$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ zu ${}e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die ${}m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von ${}g$, also ${}g^{m+n}$. Bei ${}m<-n$ kann man ${}m$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die ${}-n-m=-(m+n)$- te Potenz von ${}g^{-1}$. Das ist wieder ${}g^{m+n}$.

$\Box$

Die vorstehende Aussage werden wir später so formulieren, dass ein Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ vorliegt, siehe hierzu auch Fakt.