Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element  $u\in Q$  gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

$\tilde{\phi }(u)=\phi (g)$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\phi }$ geben kann.
Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  $g,g^{\prime }\in G$  zwei Urbilder von $u$. Dann ist

$\psi \left(g^{\prime }{g}^{-1}\right)=u{u}^{-1}=e_Q$

und somit ist  $g^{\prime }{g}^{-1}\in \mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$.  Daher ist  $\phi (g)=\phi (g^{\prime })$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien  $u,v\in Q$  und seien  $g,h\in G$  Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist

$\tilde{\phi }(uv)=\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)=\tilde{\phi }(u)\tilde{\phi }(v).$

D.h. $\tilde{\phi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe