Gruppenhomomorphismus/Z nach Z/Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ${}d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe ${}\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei ${}d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei ${}d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei ${}d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.