Gruppenhomomorphismus/Z nach Z/Beispiel

Es sei  ${}d\in \mathbb {N}$  fixiert. Die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für  ${}d\geq 1$  ist diese Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe  ${}\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$.  Bei  ${}d=0$  liegt die Nullabbildung vor. Bei  ${}d=1$  ist die Abbildung die Identität, bei  ${}d\geq 2$  ist die Abbildung nicht surjektiv.