Gruppenoperation/N Menge/Operation auf Abbildungsmenge nach N/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Es sei ${}N$ eine weitere Menge und ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ die Menge der Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$. Dann wird durch

$G^{\rm {op}}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$

wobei ${}g\varphi$ durch

${}(g\varphi )(x)=(\varphi (gx))\,$

definiert sei, eine Operation der oppositionellen Gruppe ${}G^{\rm {op}}$ auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element  ${}e\in G$  gilt ja

${}(e\varphi )(x)=\varphi (ex)=\varphi (x)\,$

für jedes  ${}x\in M$,  also  ${}e\varphi =\varphi$,  und für beliebige  ${}g,h\in G$,   ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$  und  ${}x\in M$  gilt

${}((g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi )(x)=((hg)\varphi )(x)=\varphi ((hg)(x))=\varphi (h(gx))=(h\varphi )(gx)=(g(h\varphi ))(x)\,,$

also  ${}(g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi =g(h\varphi )$.  Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.

Die Fixelemente von ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ unter dieser Operation sind gerade die ${}G$-invarianten Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei  ${}N=\mathbb {R}$  o.Ä. angewendet, wenn es also um auf ${}M$ definierte Funktionen geht.