Gruppenoperation/N Menge/Operation auf Abbildungsmenge nach N/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $N$ eine weitere Menge und $\mathrm{Abb}(M,N)$ die Menge der Abbildungen von $M$ nach $N$. Dann wird durch

$G^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times \mathrm{Abb}(M,N)⟶\mathrm{Abb}(M,N),(g,\phi )⟼g\phi ,$

wobei $g\phi$ durch

$(g\phi )(x)=(\phi (gx))$

definiert sei, eine Operation der oppositionellen Gruppe $G^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ auf $\mathrm{Abb}(M,N)$ gegeben. Für das neutrale Element  $e\in G$  gilt ja

$(e\phi )(x)=\phi (ex)=\phi (x)$

für jedes  $x\in M$,  also  $e\phi =\phi$,  und für beliebige  $g,h\in G$,   $\phi \in \mathrm{Abb}(M,N)$  und  $x\in M$  gilt

$((g{\cdot }_{\mathrm{o}\mathrm{p}}h)\phi )(x)=((hg)\phi )(x)=\phi ((hg)(x))=\phi (h(gx))=(h\phi )(gx)=(g(h\phi ))(x),$

also  $(g{\cdot }_{\mathrm{o}\mathrm{p}}h)\phi =g(h\phi )$.  Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.

Die Fixelemente von $\mathrm{Abb}(M,N)$ unter dieser Operation sind gerade die $G$-invarianten Abbildungen von $M$ nach $N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei  $N=ℝ$  o.Ä. angewendet, wenn es also um auf $M$ definierte Funktionen geht.