Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Verschiedene Begriffe/Beispiel

Es sei ${}M$ eine Menge und

$F\colon M\longrightarrow M$

eine bijektive Abbildung mit der zugehörigen Gruppenoperation von ${}\mathbb {Z}$ auf ${}M$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn ${}F$ die Identität ist. Die Fixpunkte der Operation sind genau die Fixpunkte von ${}F$. Die Isotropiegruppe zu ${}x\in M$ ist ${}\mathbb {Z} k$ (${}k\geq 1$), falls ${}x$ ein Fixpunkt der ${}k$-ten Hintereinanderschaltung ${}F^{k}$ und ${}k$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich ${}0$. Die durch ${}x\in M$ definierte Bahn besteht aus

${\left\{F^{n}(x)\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}.$

Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation treu ist.