Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Beispiel

Nach Fakt  (2) und nach Fakt ist eine Gruppenoperation von ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ auf einer Menge ${}M$ dasselbe wie eine bijektive Abbildung

$F\colon M\longrightarrow M,$

wobei die ${}1$ wie ${}F$ wirkt. Bei gegebenem ${}F$ ist also die Gruppenwirkung für ${}x\in M$ durch ${}n\cdot x=F^{n}(x)$ definiert, wobei ${}F^{n}$ bei ${}n\geq 0$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}F$ und bei ${}n<0$ die ${}-n$-fache Hintereinanderschaltung der Umkehrabbildung ${}F^{-1}$ bedeutet.