Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Beispiel

Nach Fakt  (2) und nach Fakt ist eine Gruppenoperation von ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ auf einer Menge ${}M$ dasselbe wie eine bijektive Abbildung

$F\colon M\longrightarrow M,$

wobei die ${}1$ wie ${}F$ wirkt. Bei gegebenem ${}F$ ist also die Gruppenwirkung für  ${}x\in M$  durch  ${}n\cdot x=F^{n}(x)$  definiert, wobei ${}F^{n}$ bei  ${}n\geq 0$  die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}F$ und bei  ${}n<0$  die ${}-n$-fache Hintereinanderschaltung der Umkehrabbildung ${}F^{-1}$ bedeutet.