Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Für die erste Aussage siehe Aufgabe. Damit ist die Restklassengruppe $Q/\bar{H}$ wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition

$p\circ q:G⟶Q⟶Q/\bar{H}.$

Wegen

$\begin{array}{cc}\mathrm{kern}(p\circ q)& =\{x\in G\mid (p\circ q)(x)=e\}\\ & =\{x\in G\mid q(x)\in \mathrm{kern}p\}\\ & =\{x\in G\mid q(x)\in \bar{H}\}\\ & =H\end{array}$

ist  $\mathrm{kern}(p\circ q)=H$.  Daher ergibt Fakt die kanonische Isomorphie

$G/H⟶Q/\bar{H}.$

Zur bewiesenen Aussage