Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Für die erste Aussage siehe Aufgabe. Damit ist die Restklassengruppe ${}Q/{\overline {H}}$ wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition

p\circ q:G\longrightarrow Q\longrightarrow Q/{\overline {H}}.

Wegen

{}{\begin{aligned}\operatorname {kern} \left(p\circ q\right)&={\left\{x\in G\mid (p\circ q)(x)=e\right\}}\\&={\left\{x\in G\mid q(x)\in \operatorname {kern} p\right\}}\\&={\left\{x\in G\mid q(x)\in {\overline {H}}\right\}}\\&=H\end{aligned}}

ist ${}\operatorname {kern} \left(p\circ q\right)=H$ . Daher ergibt Fakt die kanonische Isomorphie

G/H\longrightarrow Q/{\overline {H}}.