Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Beweis

Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen  ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$  für sämtliche  ${}g\in G$.  Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

Zur bewiesenen Aussage