Höhere Ableitungen/R/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$. Sie ist für ${}n=0$ trivial und für ${}n=1$ handelt es sich einfach um die Produktregel. Es sei die Aussage für die ${}n$-te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und Fakt

${}{\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&={\left((f\cdot g)^{(n)}\right)}'\\&={\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left({\left(f^{(k)}\right)}'\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot {\left(g^{(n-k)}\right)}'\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage