Halboffenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe/Kommentar

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Nach Fakt ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Von daher würden wir direkt Probleme bekommen, wenn wir zum Beispiel in ein offenes Intervall und ein geschlossenes Intervall zerlegen würden (zum Beispiel

), da dies ein Widerspruch zu Aufgabe wäre.

und müssen natürlich nicht unbedingt aus jeweils einem Teilintervall bestehen und könnten komplizierter sein. Es macht aber Sinn, es erst einmal so einfach wie möglich zu halten. Deswegen versuchen wir es mit der Aufteilung in

Nun können wir die Abbildung

definieren. Dies ist eine einfach Verschiebung oder Translation.

Ihre Inverse ist dann

Dass beide stetig sind, lässt sich leicht dadurch sehen, dass offene Mengen nach Verschiebung weiterhin offen sind.
Zur kommentierten Aufgabe