Halboffenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe/Kommentar

Nach Fakt ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Von daher würden wir direkt Probleme bekommen, wenn wir ${}I$ zum Beispiel in ein offenes Intervall und ein geschlossenes Intervall zerlegen würden (zum Beispiel

$T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}]\quad {\text{und}}\quad T_{2}=]{\frac {a+b}{2}},b[$

), da dies ein Widerspruch zu Aufgabe wäre.

${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ müssen natürlich nicht unbedingt aus jeweils einem Teilintervall bestehen und könnten komplizierter sein. Es macht aber Sinn, es erst einmal so einfach wie möglich zu halten. Deswegen versuchen wir es mit der Aufteilung in

$T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}[\quad {\text{und}}\quad T_{2}=[{\frac {a+b}{2}},b[.$

Nun können wir die Abbildung

$f\colon T_{1}\longrightarrow T_{2},\,x\longmapsto x+{\frac {b-a}{2}},$

definieren. Dies ist eine einfach Verschiebung oder Translation.

Ihre Inverse ist dann

$f^{-1}\colon T_{2}\longrightarrow T_{1},\,y\longmapsto y-{\frac {b-a}{2}}.$

Dass beide stetig sind, lässt sich leicht dadurch sehen, dass offene Mengen nach Verschiebung weiterhin offen sind.

Zur kommentierten Aufgabe