Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt  ${}x\in L$. 
2. Für jeden Punkt  ${}x\in L$  und jedes  ${}\epsilon >0$  gibt es ein  ${}\delta >0$  mit der Eigenschaft, dass aus  ${}d(x,x')\leq \delta$  folgt, dass  ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$  ist.
3. Für jeden Punkt  ${}x\in L$  und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$  ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
4. Für jede offene Menge  ${}V\subseteq M$  ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen