Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt

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Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig in jedem Punkt .
  2. Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
  3. Für jeden Punkt und jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
  4. Für jede offene Menge ist auch das Urbild offen.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen