Beweis
Die erste Aussage folgt direkt aus
Fakt
und
Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
-

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann
ist und es eine Permutation
auf
gibt derart, dass
und
assoziiert sind für alle
.
Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über
. Es sei zuerst
(das sei zugelassen).
Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was
bedeutet.
Es sei also
und die Aussage sei für alle kleineren
bewiesen. Die Gleichung
bedeutet insbesondere, dass
das Produkt rechts teilt. Da
prim ist, muss
nach
dem Lemma von Euklid
einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass
von
geteilt wird. Da
ebenfalls prim ist, sind
und
assoziiert. Also ist
-

mit einer Einheit
und man kann die Gleichung
nach
kürzen und erhält
-

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann
und dass jedes
zu einem
assoziiert ist.