Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt/Beweis

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Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ist und es eine Permutation auf gibt derart, dass und assoziiert sind für alle . Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über . Sei zuerst (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was bedeutet.

Sei also und die Aussage sei für alle kleineren bewiesen. Die Gleichung bedeutet insbesondere, dass das Produkt rechts teilt. Da prim ist, muss nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass von geteilt wird. Da ebenfalls prim ist, sind und assoziiert. Also ist

mit einer Einheit und man kann die Gleichung nach kürzen und erhält

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann und dass jedes zu einem assoziiert ist.

Zur bewiesenen Aussage