Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

${}a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann  ${}k=m$  ist und es eine Permutation ${}\tau$ auf ${}\{1,\ldots ,k\}$ derart gibt, dass ${}p_{i}$ und ${}q_{\tau (i)}$ für alle  ${}i\in \{1,\ldots ,k\}$  assoziiert sind. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über ${}k$. Es sei zuerst  ${}k=0$  (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was  ${}m=0$  bedeutet.

Es sei also  ${}k>0$  und die Aussage sei für alle kleineren ${}k$ bewiesen. Die Gleichung ${}(*)$ bedeutet insbesondere, dass ${}p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da ${}p_{k}$ prim ist, muss ${}p_{k}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass ${}q_{m}$ von ${}p_{k}$ geteilt wird. Da ${}q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind ${}q_{m}$ und ${}p_{k}$ assoziiert. Also ist

${}q_{m}=wp_{k}\,$

mit einer Einheit ${}w$ und man kann die Gleichung ${}(*)$ nach ${}p_{k}$ kürzen und erhält

${}u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann  ${}k-1=m-1$  und dass jedes ${}p_{i}$ zu einem ${}q_{j}$ assoziiert ist.

Zur bewiesenen Aussage