Hauptidealbereich/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl ${}k$ der verschiedenen Primfaktoren von ${}g$. Wenn ${}g$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Es sei also ${}k\geq 2$ und die Aussage für kleinere ${}k$ schon bewiesen. Sei

${}h=p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$

Da ${}p_{1}^{r_{1}}$ und ${}h$ teilerfremd sind, gibt es nach Fakt eine Darstellung der Form

${}up_{1}^{r_{1}}+vh=1\,$

mit ${}u,v\in R$. Division durch

${}g=p_{1}^{r_{1}}h\,$

ergibt

${}{\frac {1}{g}}={\frac {v}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {u}{h}}\,.$

Multiplikation mit ${}f$ liefert eine Darstellung der Form

${}{\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {c}{h}}\,$

und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}{\frac {c}{h}}$ liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage