Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wegen gelten die Idealinklusionen und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei derart, dass es in jeder Komponente auf abgebildet wird. Das bedeutet für alle . D.h. ist ein Vielfaches dieser und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ein Vielfaches von sein muss. Also ist in .
Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert und in allen anderen Komponenten den Wert haben, im Bild liegen. Sei also vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind und teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir

Betrachten wir . Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf und in den übrigen Komponenten auf abgebildet, wie gewünscht.