Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2

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Wenn die Exponentbedingung erfüllt ist, so its und man kann schreiben

was die Teilbarkeit bedeutet. Sei umgekehrt . Wir beweisen die Aussage durch Induktion über , also über die Länge der Primfaktorzerlegung. Fixiere ein bzw. . Bei ist nichts zu zeigen, sei also . Dann ist ein Vielfaches von und damit ist auch ein Vielfaches von . Da zu allen , , teilerfremd sind, gilt nach dem Lemma von Euklid, dass . Also ist und wir können beidseitig mit f kürzen und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.