Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2

Wenn die Exponentbedingung erfüllt ist, so its $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann schreiben

$b=vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\,,$

was die Teilbarkeit bedeutet. Sei umgekehrt $b=ac$. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $\sum _{i=1}^{k}r_{i}$, also über die Länge der Primfaktorzerlegung. Fixiere ein $i$ bzw. $p_{i}$. Bei $r_{i}=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $r_{i}\geq 1$. Dann ist $a$ ein Vielfaches von $p_{i}$ und damit ist auch $b$ ein Vielfaches von $p_{i}$. Da $p_{i}$ zu allen $p_{j}$, $j\neq i$, teilerfremd sind, gilt nach dem Lemma von Euklid, dass $p_{i}\,|\,p_{i}^{s_{i}}$. Also ist $s_{i}\geq 1$ und wir können beidseitig mit $p_{i}$f kürzen und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.