Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Beweis

Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bézout Elemente  $r,s\in R$  mit  $ra+sb=1$.  Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als  $bc=da$.  Damit gilt

$c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds),$

was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

Zur bewiesenen Aussage