Hauptidealbereich/Z/Partialbruchzerlegung/Fakt

Partialbruchzerlegung für Z

Es seien ${}f,g\in \mathbb {Z}$, ${}g>0$, mit der Primfaktorzerlegung

${}g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gibt es im Quotientenkörper ${}Q(R)$ eine Darstellung

${}{\frac {f}{g}}=n+{\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}\,$

mit ${}n,a_{1},\ldots ,a_{k}\in \mathbb {Z}$ und mit ${}\vert {a_{j}}\vert <p_{j}^{r_{j}}$. Für die Summanden gibt es ferner eine Darstellung

${}{\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=n_{j}+{\frac {c_{j,1}}{p_{j}}}+{\frac {c_{j,2}}{p_{j}^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{j,r_{j}}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$

mit ${}\vert {c_{j,i}}\vert <p_{j}$. Dabei kann man die ${}c_{j,i}\geq 0$ wählen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen