Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das von $a$ und $b$ erzeugte Ideal $I = (a, b)$ . Da $R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein $c \in R$ mit $(a, b) = (c)$ . Daher ist $c$ ein Teiler von $a$ und von $b$ . Die Teilerfremdheit impliziert, dass $c$ eine Einheit ist. Wegen $c \in (a, b)$ gibt es eine Darstellung $c = u a + v b$ . Multiplikation mit $c^{- 1}$ ergibt die Darstellung der $1$ .