Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das von ${}a$ und ${}b$ erzeugte Ideal ${}I=(a,b)$ . Da ${}R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein ${}c\in R$ mit ${}(a,b)=(c)$ . Daher ist ${}c$ ein Teiler von ${}a$ und von ${}b$ . Die Teilerfremdheit impliziert, dass ${}c$ eine Einheit ist. Wegen ${}c\in (a,b)$ gibt es eine Darstellung ${}c=ua+vb$ . Multiplikation mit ${}c^{-1}$ ergibt die Darstellung der ${}1$ .