Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis2

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Beweis (Hauptsatz der Infinitesimalrechnung)

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Limes von

für gleich ist. Mit der durch gegebenen konstanten Funktion können wir schreiben und damit den Ausdruck

betrachten. Indem wir die Funktion betrachten, können wir annehmen, dass ist. Wegen der Stetigkeit von gibt es zu jedem ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Damit gilt für nach Fakt die Abschätzung

und daher