Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis2

Beweis

Es sei ${}x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass für ${}h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich ${}f(x)$ ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Limes von

${\frac {1}{h}}{\left(\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt-hf(x)\right)}$

für ${}h\rightarrow 0$ gleich ${}0$ ist. Mit der durch ${}f(x)$ gegebenen konstanten Funktion können wir ${}hf(x)=\int _{x}^{x+h}f(x)\,dt$ schreiben und damit den Ausdruck

${\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt$

betrachten. Indem wir die Funktion ${}f(t)-f(x)$ betrachten, können wir annehmen, dass ${}f(x)=0$ ist. Wegen der Stetigkeit von ${}f$ gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}t\in [x-\delta ,x+\delta ]$ die Abschätzung ${}\vert {f(t)}\vert \leq \epsilon$ gilt. Damit gilt für ${}h\in [-\delta ,+\delta ]$ nach Fakt die Abschätzung

${}\mid \!\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\vert {f(t)}\vert \,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\epsilon \,dt\!\mid =\vert {h}\vert \epsilon \,$

und daher

${}\mid \!{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage