Heron-Folge/Wurzel 5/Startglied 2 und 3/Differenzfolge/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   $\begin{array}{cc}{y}_1-x_1& =\frac{y_0+\frac{5}{y_0}}{2}-\frac{x_0+\frac{5}{x_0}}{2}\\ & =\frac{3+\frac{5}{3}}{2}-\frac{2+\frac{5}{2}}{2}\\ & =\frac{1+\frac{5}{3}-\frac{5}{2}}{2}\\ & =\frac{1-\frac{5}{6}}{2}\\ & =\frac{1}{12}.\end{array}$

2. Es ist

   $\begin{array}{cc}{y}_{n+1}-x_{n+1}& =\frac{y_n+\frac{5}{y_n}}{2}-\frac{x_n+\frac{5}{x_n}}{2}\\ & =\frac{y_n-x_n+5(\frac{1}{y_n}-\frac{1}{x_n})}{2}\\ & =\frac{y_n-x_n+5\frac{x_n-y_n}{x_n{y}_n}}{2}\\ & =\frac{y_n-x_n}{2}(1-\frac{5}{x_n{y}_n}).\end{array}$

   Nach Fakt  (1) sind (für $n\ge 1$)

   $x_n^2,y_n^2\ge 5$

   und damit ist auch

   $x_n{y}_n\ge 5.$

   Somit ist  $\frac{5}{x_n{y}_n}\le 1$  und der rechte Faktor ist positiv und beschränkt. Durch den Faktor $1/2$ liegt eine Nullfolge vor.

Zur gelösten Aufgabe