Heron-Folge/Wurzel 5/Startglied 2 und 3/Differenzfolge/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}y_{1}-x_{1}&={\frac {y_{0}+{\frac {5}{y_{0}}}}{2}}-{\frac {x_{0}+{\frac {5}{x_{0}}}}{2}}\\&={\frac {3+{\frac {5}{3}}}{2}}-{\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}\\&={\frac {1+{\frac {5}{3}}-{\frac {5}{2}}}{2}}\\&={\frac {1-{\frac {5}{6}}}{2}}\\&={\frac {1}{12}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}y_{n+1}-x_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {5}{y_{n}}}}{2}}-{\frac {x_{n}+{\frac {5}{x_{n}}}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}+5{\left({\frac {1}{y_{n}}}-{\frac {1}{x_{n}}}\right)}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}+5{\frac {x_{n}-y_{n}}{x_{n}y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}}{2}}{\left(1-{\frac {5}{x_{n}y_{n}}}\right)}.\end{aligned}}$

   Nach Fakt  (1) sind (für ${}n\geq 1$)

   ${}x_{n}^{2},y_{n}^{2}\geq 5\,$

   und damit ist auch

   ${}x_{n}y_{n}\geq 5\,.$

   Somit ist ${}{\frac {5}{x_{n}y_{n}}}\leq 1$ und der rechte Faktor ist positiv und beschränkt. Durch den Faktor ${}1/2$ liegt eine Nullfolge vor.

Zur gelösten Aufgabe