Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\delta$ das Infimum von

${}{\left\{\Vert {Q}\Vert \mid Q\in T\right\}}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\,.$

Mit Hilfe von Aufgabe erhält man für Punkte ${}P,Q\in T$ die Abschätzung

${}\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\Vert {\frac {P+Q}{2}}\Vert ^{2}\,.$

Wegen der Konvexität gilt ${}{\frac {P+Q}{2}}\in T$ und daher ist

${}\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$

Daraus folgt aus

${}\Vert {P}\Vert =\Vert {Q}\Vert =\delta \,$

sofort ${}\Vert {P-Q}\Vert =0$ und damit ${}P=Q$, was die Eindeutigkeit bedeutet.

Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge ${}Q_{n}\in T$ derart, dass ${}\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen ${}\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder ${}Q_{n},Q_{m}$ die Abschätzung

${}\Vert {Q_{n}-Q_{m}}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {Q_{n}}\Vert ^{2}+2\Vert {Q_{m}}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$

Da ${}\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen ${}\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig kein wird. Dies bedeutet, dass ${}Q_{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von ${}V$ konvergiert die Folge gegen ein ${}P\in V$ und wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ ist ${}P\in T$ nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage