Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es erzeuge zuerst ${}T$ einen dichten Untervektorraum ${}U$ und sei ${}v\in V$ gegeben mit

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle ${}w\in T$. Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle ${}w\in U$. Wegen der Dichtheit von ${}U$ gibt es eine Folge ${}w_{n}\in U$, die gegen ${}v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge ${}\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0$ gegen ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$. also ist ${}v=0$.

Es erzeuge nun ${}T$ einen Untervektorraum ${}U$, der nicht dicht sei, es sei

${}W={\overline {U}}\,$

und sei ${}z\in V\setminus W$. Es sei ${}z=y+v$ die Zerlegung im Sinne von Fakt mit ${}y\in W$ und ${}v\in W^{\perp }$. Dann ist

${}v\neq 0\,,$

dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus ${}W$.

Zur bewiesenen Aussage