Holomorphe Funktion/1 Variable/Rechtsäquivalent/Potenz/Beispiel

Eine nichtkonstante holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in einer Variablen ${}y$ (mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen) ist im Nullpunkt rechtsäquivalent zu einer Potenz ${}y^{k}$. Die Potenzreihenentwicklung von ${}f$ im Nullpunkt hat die Form

$ay^{k}+gy^{k}$

mit ${}a\in {\mathbb {C} }$, ${}a\neq 0$, und ${}g\in {\mathfrak {m}}=(y)$. Dann ist in einer offenen Umgebung von ${}0$ die Funktion ${}a+g$ nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der ${}0$ auch eine Wurzel ${}{\sqrt[{k}]{a+g}}$ wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch ${}y\mapsto y{\sqrt[{k}]{a+h}}$ eine biholomorphe Abbildung gegeben, die ${}f$ und ${}y^{k}$ als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach Fakt.