Beweis
Die Funktion kann nicht rechtsäquivalent zu sein, da dieses nach
Fakt
nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also
und das -te Taylorpolynom ist
-
mit
und ein homogenes Polynom von Grad . Wir wenden auf die Transformation
-
und erhalten
(mit )
wobei wieder homogen vom Grad und ist. Mit der holomorphen Transformation
-
wird daraus
mit
.
Bei
ist bezüglich der neuen Koordinaten das -te Taylorpolynom gleich und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung durchführen. Da nach
Fakt
für hinreichend groß
-bestimmt
ist, kann dieser Prozess nicht immer
liefern, da sonst rechtsäquivalent zu wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist rechtsäquivalent
-
mit
und
.
Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von
Fakt
erfüllt sind. Das Jacobiideal ist
-
Damit ist
-
-
für
und
-
jeweils mit einem
.
Somit ist
.
Daher ist -bestimmt und damit rechtsäquivalent zu und auch zu mit
.