Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^2y/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktion ${}f$ kann nicht rechtsäquivalent zu ${}x^{2}y$ sein, da dieses nach Fakt nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also ${}d\geq 4$ und das ${}d$-te Taylorpolynom ist

$x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)$

mit ${}a,b\in {\mathbb {C} }$ und ${}c$ ein homogenes Polynom von Grad ${}d-2$. Wir wenden auf ${}f$ die Transformation

${}x={\tilde {x}}-by^{d-2}\,$

und erhalten (mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$)

${}{\begin{aligned}f&=x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}y+ay^{d}+2b{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}y^{d-1}+{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\tilde {x}}^{2}y-2b{\tilde {x}}y^{d-1}+ay^{d}+2b{\tilde {x}}y^{d-1}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)\\&={\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y),\end{aligned}}$

wobei ${}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)$ wieder homogen vom Grad ${}d-2$ und ${}{\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$ ist. Mit der holomorphen Transformation

${}y={\tilde {y}}-{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)\,$

wird daraus

${}{\begin{aligned}{\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)&={\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}+a{\tilde {y}}^{d}+{\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\\end{aligned}}$

mit ${}{\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Bei ${}a=0$ ist bezüglich der neuen Koordinaten das ${}d$-te Taylorpolynom gleich ${}{\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}$ und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung ${}d+1$ durchführen. Da ${}f$ nach Fakt für ${}r$ hinreichend groß ${}r$-bestimmt ist, kann dieser Prozess nicht immer ${}a=0$ liefern, da sonst ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}x^{2}y$ wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist ${}f$ rechtsäquivalent

$x^{2}y+ay^{d}+h$

mit ${}a\neq 0$ und ${}h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von Fakt erfüllt sind. Das Jacobiideal ist

${}J_{f}={\left(2xy+\partial _{x}h,x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}\,.$

Damit ist

${}y^{d+1}={\frac {y^{2}}{da}}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}-{\frac {xy}{2da}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,,$

${}x^{i}y^{d+1-i}={\frac {x^{i-1}y^{d-i}}{2}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,$

für ${}1\leq i\leq d$ und

${}x^{d+1}=x^{d-1}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}+g\,,$

jeweils mit einem ${}g\in {\mathfrak {m}}^{d+2}$. Somit ist ${}{\mathfrak {m}}^{d+1}\subseteq J_{f}+{\mathfrak {m}}^{d+2}$. Daher ist ${}f$ ${}d$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu ${}x^{2}y+ay^{d}$ und auch zu ${}x^{2}y+y^{d}$ mit ${}d\geq 4$.

Zur bewiesenen Aussage