Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^2y/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Funktion kann nicht rechtsäquivalent zu sein, da dieses nach Fakt nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also und das -te Taylorpolynom ist

mit und ein homogenes Polynom von Grad . Wir wenden auf die Transformation

und erhalten (mit )

wobei wieder homogen vom Grad und ist. Mit der holomorphen Transformation

wird daraus

mit . Bei ist bezüglich der neuen Koordinaten das -te Taylorpolynom gleich und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung durchführen. Da nach Fakt für hinreichend groß -bestimmt ist, kann dieser Prozess nicht immer liefern, da sonst rechtsäquivalent zu wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist rechtsäquivalent

mit und . Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von Fakt erfüllt sind. Das Jacobiideal ist

Damit ist

für und

jeweils mit einem . Somit ist . Daher ist -bestimmt und damit rechtsäquivalent zu und auch zu mit .

Zur bewiesenen Aussage