Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^3/Fakt/Beweis

Beweis

Das Taylorpolynom der Ordnung ${}4$ zu ${}f$ hat die Form

$x^{3}+ay^{4}+bxy^{3}+3x^{2}c(x,y)$

mit ${}c$ homogen von Grad ${}d-2$. Wir wenden auf ${}f$ die Transformation

${}x={\tilde {x}}-c(x,y)\,$

an und erhalten

${}f={\tilde {x}}^{3}+ay^{4}+b{\tilde {x}}y^{3}+h({\tilde {x}},y)\,$

mit  ${}h\in {\mathfrak {m}}^{5}$  (das für das Taylorpolynom vom Grad ${}4$ nicht relevant ist). Wir schreiben wieder ${}x$ statt ${}{\tilde {x}}$.

Fall 1. Sei  ${}a\neq 0$.  Dann kann man durch die holomorphe Transformation (mit einer fixierten vierten Wurzel von ${}a$)

${}y={\frac {\tilde {y}}{{a}^{1/4}}}-{\frac {b}{4a}}x\,$

die Funktion ${}f$ nach

$x^{3}+{\tilde {y}}^{4}+x^{2}{\hat {h}}(x,{\tilde {y}})+{\tilde {h}}$

mit ${}{\hat {h}}$ homogen vom Grad ${}2$ und  ${}{\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$  transformieren. Dies kann man wiederum mittels

${}{\tilde {x}}=x+{\hat {h}}\,$

zu ${}{\tilde {x}}^{3}+{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {g}}$ mit  ${}{\tilde {g}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$  transformieren. Es ist

${}J_{f}=(3x^{2}+\partial _{x}{\tilde {g}},4y^{3}+\partial _{y}{\tilde {g}})\,$

und damit ist

${}{\mathfrak {m}}^{5}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{6}\,,$

sodass man Fakt anwenden kann. Also ist ${}f$ ${}4$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu ${}x^{3}+y^{4}$.

Fall 2. Sei  ${}a=0$  und  ${}b\neq 0$.  Dann ist ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}x^{3}+xy^{3}+h$ mit  ${}h\in {\mathfrak {m}}^{5}$.  Wir schreiben ${}f$ als

${}f=x^{3}+xy^{3}+ay^{5}+bxy^{4}+x^{2}h+g\,$

mit  ${}h\in {\mathfrak {m}}^{2}$  und  ${}g\in {\mathfrak {m}}^{6}$.  Mit

${}x={\tilde {x}}-ay^{2}\,$

transformiert sich dies zu

${}f={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\,$

mit ${}{\tilde {h}},{\tilde {g}}$ wie zuvor. Mit

${}y={\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\,$

wird das zu

${}{\begin{aligned}{\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}&={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\\&={\tilde {x}}^{3}{\left(1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}\right)}+{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{3}+{\hat {b}}{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\hat {h}}+{\hat {g}}.\end{aligned}}$

Der Term ${}1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}$ ist in einer Umgebung des Nullpunktes ungleich ${}0$. In den neuen Koordinaten

${}{\hat {x}}={\tilde {x}}{\sqrt[{3}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}\,$

und

${}{\hat {y}}={\tilde {y}}{\frac {1}{\sqrt[{9}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}}\,$

erhalten wir

${\hat {x}}^{3}+{\hat {x}}{\hat {y}}^{3}+{\check {b}}{\hat {x}}{\hat {y}}^{4}+{\hat {x}}^{2}{\check {h}}+{\check {g}}.$

Mittels

${}{\check {x}}={\hat {x}}-{\frac {1}{3}}{\check {h}}\,$

kann man den vierten Summanden wegkriegen und mittels

${}{\check {y}}={\hat {y}}{\sqrt[{3}]{1+{\check {b}}{\hat {y}}}}\,$

erhält man

${\check {x}}^{3}+{\check {x}}{\check {y}}^{3}+\gamma$

mit  ${}\gamma \in {\mathfrak {m}}^{6}$.  Es gilt wieder

${}{\mathfrak {m}}^{6}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{7}\,$

woraus ${}5$-bestimmt nach Fakt folgt. Somit ist die Funktion rechtsäquivalent zu ${}x^{3}+xy^{3}$.

noch: E8

Fakt

Zur bewiesenen Aussage