Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^3/Fakt/Beweis

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Beweis

Das Taylorpolynom der Ordnung zu hat die Form

mit homogen von Grad . Wir wenden auf die Transformation

an und erhalten

mit (das für das Taylorpolynom vom Grad nicht relevant ist). Wir schreiben wieder statt .

Fall 1. Sei . Dann kann man durch die holomorphe Transformation (mit einer fixierten vierten Wurzel von )

die Funktion nach

mit homogen vom Grad und transformieren. Dies kann man wiederum mittels

zu mit transformieren. Es ist

und damit ist

so dass man Fakt anwenden kann. Also ist -bestimmt und damit rechtsäquivalent zu .

Fall 2. Sei und . Dann ist rechtsäquivalent zu mit . Wir schreiben als

mit und . Mit

transformiert sich dies zu

mit wie zuvor. Mit

wird das zu

Der Term ist in einer Umgebung des Nullpunktes ungleich . In den neuen Koordinaten

und

erhalten wir

Mittels

kann man den vierten Summanden wegkriegen und mittels

erhält man

mit . Es gilt wieder

woraus -bestimmt nach Fakt folgt. Somit ist die Funktion rechtsäquivalent zu .


noch: E8


Fakt

Zur bewiesenen Aussage