Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Offen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen für jede offene Teilmenge ${}U'\subseteq U$ zeigen, dass ${}f(U')$ offen ist. Da für ${}U'$ die gleichen Voraussetzungen gelten, genügt es, direkt ${}f(U)$ zu betrachten. Sei ${}Q=f(P)$ mit ${}P\in U$. Nach Fakt gibt es offene Umgebungen ${}P\in U_{1}$ und ${}Q\in U_{2}$ derart, dass die Einschränkung eine Bijektion zwischen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ergibt. Insbesondere liegt also ${}U_{2}$ innerhalb des Bildes von ${}U$ und somit haben wir innerhalb von ${}f(U)$ eine offene Umgebung von ${}Q$ gefunden.

Zur bewiesenen Aussage