Holomorphe Funktion/Addition/Rechtsäquivalenz/Ausdehnung und Vektorfeld/Biholomorphe Abbildung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es ist

und somit auch

Wir fixieren ein und arbeiten im Ring der holomorphen Funktionen im Punkt

(in Variablen). Nach Voraussetzung ist

in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen (als Ideal in , diese Funktionen hängen auch von ab) mit

gibt, die in einer offenen Umgebung von definiert sind. Wir können

mit offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige (wenn man als Zeitparameter auffasst) Vektorfeld

auf . Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst) . Da die zu gehören, ist im Raumpunkt die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich . Für die nach Fakt zugehörige holomorphe lokal einparametrige Gruppe

gilt insbesondere für alle . Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft impliziert, dass die Funktion längs jeder Lösungskurve konstant ist. Daher ist unabhängig von .

Die offenen Intervalle zu den verschiedenen überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen Kompaktheit endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte

wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen , die die Situation im Zeitpunkt in die Situation zum Zeitpunkt überführen. Wegen

und der Invarianz gilt auch

und dies folgt durch Induktion für alle weiteren Zeitpunkte .

Die Hintereinanderschaltung dieser biholomorphen Abbildungen transformiert die Funktion insgesamt in die Funktion .

Zur bewiesenen Aussage