Holomorphe Funktion/Addition/Rechtsäquivalenz/Ausdehnung und Vektorfeld/Biholomorphe Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$

und somit auch

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$

Wir fixieren ein ${}s\in [0,1]$ und arbeiten im Ring ${}R={\mathcal {O}}_{P}$ der holomorphen Funktionen im Punkt

${}P=(s,0)\in {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\,$

(in $n+1$ Variablen). Nach Voraussetzung ist

${}h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$

in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen ${}\alpha _{j}\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ (als Ideal in ${}R$, diese Funktionen hängen auch von ${}t$ ab) mit

${}-h=\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H\,$

gibt, die in einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}P$ definiert sind. Wir können

${}V=]s-\epsilon ,s+\epsilon [\times W\,$

mit ${}W\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige (wenn man ${}t$ als Zeitparameter auffasst) Vektorfeld

${}F=\partial _{t}+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}\,$

auf ${}V$. Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst) ${}F(H)=\partial _{t}H+\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H=h-h=0$. Da die ${}\alpha _{j}$ zu ${}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ gehören, ist im Raumpunkt ${}0$ die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich ${}0$. Für die nach Fakt zugehörige holomorphe lokal einparametrige Gruppe

$\Psi \colon ]s-\epsilon ,s+\epsilon [\times W'\longrightarrow W$

gilt insbesondere ${}\Psi _{t}(0)=0$ für alle ${}t$. Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft ${}F(H)=0$ impliziert, dass die Funktion ${}H$ längs jeder Lösungskurve ${}\Psi (-,z)$ konstant ist. Daher ist ${}H(t,\Psi _{t}(z))$ unabhängig von ${}t\in ]s-\epsilon ,s+\epsilon [$.

Die offenen Intervalle ${}]s-\epsilon ,s+\epsilon [$ zu den verschiedenen ${}s$ überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen Kompaktheit endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte

${}0<t_{2}<t_{3}<\cdots <t_{m-1}<1\,,$

wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen ${}\Psi _{j}$, die die Situation im Zeitpunkt ${}t_{j}$ in die Situation zum Zeitpunkt ${}t_{j+1}$ überführen. Wegen

${}H(0,z)=f(z)\,$

und der Invarianz gilt auch

${}H(t_{1},\Psi _{t_{1}}(z))=f(z)\,$

und dies folgt durch Induktion für alle weiteren Zeitpunkte ${}t_{j}$.

Die Hintereinanderschaltung dieser biholomorphen Abbildungen transformiert die Funktion ${}f$ insgesamt in die Funktion ${}H(1,-)=f+h$.

Zur bewiesenen Aussage