Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit  ${}U\subseteq M$  eine offene Teilmenge und  ${}0\in I=\mathbb {R}$  ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung

$\Psi \colon I\times U\longrightarrow M$

heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Für jedes  ${}t\in I$  ist ${}\Psi _{t}\colon U\rightarrow M$ ein Diffeomorphismus auf die offene Menge ${}\Psi _{t}(U)$.
2. Es ist  ${}\Psi _{0}=\operatorname {Id} _{U}$. 
3. Für  ${}s,t\in I$  mit  ${}s+t\in I$  und  ${}P\in U$  mit  ${}\Psi _{t}(P)\in U$  gilt

   ${}\Psi _{s+t}(P)=\Psi _{s}(\Psi _{t}(P))\,.$