Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit  $U\subseteq M$  eine offene Teilmenge und  $0\in I=ℝ$  ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung

$\Psi :I\times U⟶M$

heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Für jedes  $t\in I$  ist ${\Psi }_t:U\to M$ ein Diffeomorphismus auf die offene Menge ${\Psi }_t(U)$.
2. Es ist  ${\Psi }_0={\mathrm{Id}}_U$. 
3. Für  $s,t\in I$  mit  $s+t\in I$  und  $P\in U$  mit  ${\Psi }_t(P)\in U$  gilt

   ${\Psi }_{s+t}(P)={\Psi }_s({\Psi }_t(P)).$