Holomorphe Funktion/Betragsabschätzung/Koeffizientenabschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

In der Situation von Fakt ist

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - a)^{n + 1}} d z .

Mit der Abschätzung

| \frac{f (z)}{(z - a)^{n + 1}} | \leq \frac{B}{r^{n + 1}}

erhalten wir mit Fakt

\begin{matrix} | c_{n} | & = \frac{1}{2 π} | \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - a)^{n + 1}} d z | \\ \leq \frac{1}{2 π} \cdot 2 π r \cdot \frac{B}{r^{n + 1}} \\ = \frac{B}{r^{n}} . \end{matrix}