Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt

Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen, $f:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion und  $a\in U$  ein Punkt.

Dann wird $f$ in einer Umgebung von $a$ durch die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

$c_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$

gegeben sind, und $\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um $a$ innerhalb von $U$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen