Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt

Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt.

Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen