Beweis
Es seien
die Koordinaten in
und somit ist insbesondere
.
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}H(t,z):=f(z)+th(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d6588e6cccf2156087aa74bd2ce5650587052d)
und arbeiten mit
Fakt.
Es sei
ein dafür relevanter lokaler Ring, dabei ist
.
Wegen
ist
-
![{\displaystyle {}h=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\left(\partial _{z_{i}}f\right)}\cdot {\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43a170a70083f4cfcd0b2393337f12f50332385)
mit holomorphen Funktionen
und wegen
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{k}}{\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\in {\mathfrak {m}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a216f712e07d711c144dc51a01c43a9c96eefc0)
(was auf
beruht)
folgt mit der Produktregel
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{i}}h\in {\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {n}}J_{f}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388a90a4b218c1d7c486f532877baf2f662f446d)
Es ist
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5686a4879481ea55b71c92dcf8633618ecf05240)
bzw.
-
![{\displaystyle {}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c7d0d4540ba6a91076a53119e85ad52bcf3ee5)
Daher gilt mit
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\left(\partial _{z_{1}}h,\ldots ,\partial _{z_{n}}h\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {n}}J_{f}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3bff1c6c722b77cc327003b31cae710a4b4752)
Mit
dem Lemma von Nakayama
folgt
.
Aus
folgt somit
.