Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Koordinaten in ${}{\mathbb {C} }^{n}$ und somit ist insbesondere  ${}{\mathfrak {m}}={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$.  Wir setzen

${}H(t,z):=f(z)+th(z)\,$

und arbeiten mit Fakt. Es sei ${}(R,{\mathfrak {n}})$ ein dafür relevanter lokaler Ring, dabei ist  ${}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {n}}$.  Wegen  ${}h\in J_{f}^{2}$  ist

${}h=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\left(\partial _{z_{i}}f\right)}\cdot {\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\,$

mit holomorphen Funktionen ${}\beta _{ij}$ und wegen

${}\partial _{z_{k}}{\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\in {\mathfrak {m}}\,,$

(was auf $f\in {\mathfrak {m}}^{3}$ beruht) folgt mit der Produktregel

${}\partial _{z_{i}}h\in {\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {n}}J_{f}\,.$

Es ist

${}\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$

bzw.

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$

Daher gilt mit  ${}J_{H}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}$  die Beziehung

${}{\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\left(\partial _{z_{1}}h,\ldots ,\partial _{z_{n}}h\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {n}}J_{f}\,.$

Mit dem Lemma von Nakayama folgt  ${}{\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}$.  Aus  ${}h\in J_{f}^{2}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{f}$  folgt somit  ${}h\in {\mathfrak {m}}J_{H}$. 

Zur bewiesenen Aussage