Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion ${}g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ von ${}f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu ${}f$ ist. Wir können ${}g$ als  ${}g=f+h$  mit

${}h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

ansetzen. Wir betrachten die holomorphe Hilfsfunktion

${}H(t,z)=f(z)+th(z)\,$

für  ${}t\in {\mathbb {C} }$.  Es ist

${}\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$

und somit auch

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$

Wir arbeiten im Ring ${}R$ der holomorphen Funktionen im Punkt

${}0\in {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\,$

und setzen

${}{\mathfrak {a}}:={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}R\,.$

Das Ideal

${}{\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$

können wir auch in ${}R$ auffassen, ist dort aber nicht maximal, wir bezeichnen es ebenfalls mit ${}{\mathfrak {m}}$. Das maximale Ideal von ${}R$ sei ${}{\mathfrak {n}}$. Es ist

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$

Die Voraussetzung

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$

gilt entsprechend auch in ${}R$, also ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$

Mit

${}M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

und

${}N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$

gilt

${}{\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$

Mit dem Lemma von Nakayama folgt  ${}M=N$  und insbesondere

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$

Somit gilt  ${}h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$  in einer offenen Umgebung ${}V$ des Nullpunktes von ${}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}$. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen  ${}\alpha _{j}\in {\mathfrak {m}}$  auf ${}V$ mit

${}-h=\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H\,$

gibt. Das Intervall ${}[0,c]$ und

${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\,$

sei so, dass

${}[0,c]\times U\subseteq V\,$

gilt. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige Vektorfeld

${}F=\partial _{t}+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}\,$

auf ${}[0,c]\times U$. Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst)  ${}F(H)=0$.  Da die ${}\alpha _{j}$ zu ${}{\mathfrak {m}}$ gehören, ist im Raumpunkt ${}0$ die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich ${}0$. Für die zugehörige lokal einparametrige Gruppe

$[0,c]\times U'\longrightarrow U$

gilt insbesondere  ${}\Psi _{t}(0)=0$  für alle ${}t$. Die zugehörigen Diffeomorphismen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft  ${}F(H)=0$  impliziert, dass die Funktion ${}H$ längs jeder Lösungskurve ${}\Psi (-,z)$ konstant ist. Daher ist

${}H(t,\Psi _{t}(z))=f(z)\,$

für alle ${}t,z$, da dies für  ${}t=0$  gilt. Somit transformiert der Diffeomorphismus ${}\Psi _{t}$ die Funktion ${}f$ in die Funktion  ${}H(t,-)=f+th$. 

Zur bewiesenen Aussage