Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einem kritischen Punkt im Nullpunkt. Der Rang der Hesse-Matrix zu ${}f$ sei ${}k$.

Dann ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

${}g=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h\,$

mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei ${}h$ nur von den Variablen ${}x_{k+1},\ldots ,x_{n}$ abhängt.

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