Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn und zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung auf offenen Umgebungen der in mit , und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen und fortsetzen, die zeigt, dass auch und rechtsäquivalent sind.

Es seien nun und zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen , , der und eine biholomorphe Abbildung

mit (wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen). Es liegt also das kommutative Diagramm

vor. Unter entspricht der Unterraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit . Für einen Punkt gilt wegen der speziellen Gestalt von bzw. und der Kettenregel für jedes

Mit Hilfe der -Matrix

können wir diese Gleichungen als

schreiben. Die Matrix ist nach Aufgabe im Nullpunkt invertierbar. Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für invertierbar. Es gilt also

mit der von abhängigen inversen Matrix . Somit sind die als Linearkombinationen der darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den .



Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den . Daher können wir Fakt anwenden und erhalten, dass und rechtsäquivlent ist.

Zur bewiesenen Aussage