Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}g_{1}$ und ${}g_{2}$ zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung ${}\psi \colon V\rightarrow W$ auf offenen Umgebungen der ${}0$ in ${}{\mathbb {C} }^{n}$ mit ${}g_{1}=g_{2}\circ \psi$, und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen ${}{\mathbb {C} }^{k}\times V$ und ${}{\mathbb {C} }^{k}\times W$ fortsetzen, die zeigt, dass auch ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ rechtsäquivalent sind.

Es seien nun ${}f_{1}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+g_{1}(y_{1},\ldots ,y_{n})$ und ${}f_{2}=z_{1}^{2}+\cdots +z_{k}^{2}+g_{2}(w_{1},\ldots ,w_{n})$ zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$, ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$, der ${}0$ und eine biholomorphe Abbildung

$\varphi \colon U\times V\longrightarrow W\subseteq {\mathbb {C} }^{k+n}$

mit ${}f_{1}=f_{2}\circ \varphi$ (wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten ${}k$ Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen). Es liegt also das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}U\times V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\&\!\!\!\!\!f_{1}\searrow &\downarrow f_{2}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Unter ${}\varphi$ entspricht der Unterraum ${}0\times V$ einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit ${}Z\subseteq W$. Für einen Punkt ${}(0,y)\in 0\times V$ gilt wegen der speziellen Gestalt von ${}f_{1}$ bzw. ${}f_{2}$ und der Kettenregel für jedes ${}i$

${}{\begin{aligned}0&={\left(\partial _{x_{i}}f_{1}\right)}(0,y)\\&={\left(\partial _{x_{i}}{\left(f_{2}\circ \varphi \right)}\right)}(0,y)\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\partial _{z_{j}}f_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{i}}(z_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)+\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}f_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{i}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\\&=\sum _{j=1}^{k}2z_{j}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{i}}(z_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)+\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{i}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y).\end{aligned}}$

Mit Hilfe der ${}k\times k$-Matrix

${}M(0,y)={\left({\left(\partial _{x_{i}}(z_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\right)}_{1\leq i,j\leq k}\,$

können wir diese Gleichungen als

$-2M(0,y){\begin{pmatrix}\varphi _{1}(0,y)\\\vdots \\\varphi _{k}(0,y)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{1}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{k}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\end{pmatrix}}\,$

schreiben. Die Matrix ${}M(0,y)$ ist nach Aufgabe im Nullpunkt invertierbar. Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für ${}y\in V'\subseteq V$ invertierbar. Es gilt also

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}z_{1}(y)\\\vdots \\z_{k}(y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\varphi _{1}(0,y)\\\vdots \\\varphi _{k}(0,y)\end{pmatrix}}\\&=N(y){\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{1}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}\cdot {\left(\partial _{x_{k}}(w_{j}\circ \varphi )\right)}(0,y)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

mit der von ${}y$ abhängigen inversen Matrix ${}N(y)$. Somit sind die ${}\varphi _{i}(0,y)$ als Linearkombinationen der ${}{\left(\partial _{w_{j}}g_{2}\right)}{\left(\varphi (0,y)\right)}$ darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den ${}y_{i}$.

${}{\begin{aligned}g_{1}(y)&=f_{1}(0,y)\\&=(f_{2}\circ \varphi )(0,y)\\&=f_{2}(\varphi _{1}(0,y),\ldots ,\varphi _{k}(0,y),\varphi _{k+1}(0,y),\ldots ,\varphi _{k+n}(0,y))\\&=(\varphi _{1}(0,y))^{2}+\cdots +(\varphi _{k}(0,y))^{2}+g_{2}(\varphi _{k+1}(0,y),\ldots ,\varphi _{k+n}(0,y)).\end{aligned}}$

Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den ${}y_{i}$ und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den ${}y_{i}$. Daher können wir Fakt anwenden und erhalten, dass ${}g_{1}(y)$ und ${}g_{2}(w_{1},\ldots ,w_{n})$ rechtsäquivlent ist.

Zur bewiesenen Aussage