Wenn
und
zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung
auf offenen Umgebungen der
in
mit
,
und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen
und
fortsetzen, die zeigt, dass auch
und
rechtsäquivalent sind.
Es seien nun
und
zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen
,
,
der
und eine biholomorphe Abbildung
-
mit
(wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten
Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen).
Es liegt also das kommutative Diagramm
-
vor. Unter
entspricht der Unterraum
einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
.
Für einen Punkt
gilt wegen der speziellen Gestalt von
bzw.
und der Kettenregel für jedes

Mit Hilfe der
-Matrix
-

können wir diese Gleichungen als
-

schreiben. Die Matrix
ist nach
Aufgabe
im Nullpunkt
invertierbar.
Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für
invertierbar. Es gilt also

mit der von
abhängigen inversen Matrix
. Somit sind die
als Linearkombinationen der
darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den
.

Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den
und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den
. Daher können wir
Fakt
anwenden und erhalten, dass
und
rechtsäquivlent ist.