Holomorphie/Kriterien

Einleitung

Holomorphie einer Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ in einem Punkt $z_{0}\in U$ ist eine Umgebungseigenschaft von $z_{0}$ . Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei $U\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet als Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge.

Animation - Veranschaulichung der Abbildung

Die Animation zeigt für die Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ . Für die Animation werden $z$ in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt $f(z)$ in roter Farbe dargestellt. Der Punkt $z$ und $f(z)$ werden dabei in $\mathbb {C} {\widetilde {=}}\mathbb {R} ^{2}$ dargestellt. Die $y$ -Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$ bzw. $f(z)$ . Der blaue Punkt $z$ bewegt sich auf dem Weg $\gamma (t):=t\cdot (cos(t)+i\cdot \sin(t))$

Komplexe Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$ , falls der Grenzwert

\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}

mit $h\in \mathbb {C}$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f'(z_{0})$ .

Holomorphie

Die Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt holomorph im Punkt $z_{0}$ , falls eine Umgebung $U_{0}\subseteq U$ von $z_{0}$ existiert, in der $f$ komplex differenzierbar ist. Ist $f$ auf ganz $U$ holomorph, so nennt man $f$ holomorph. Ist weiter $U=\mathbb {C}$ , so nennt man $f$ eine ganze Funktion.

Holomorphiekriterien

Sei $f:U\to \mathbb {C}$ eine Funktion $U\subseteq \mathbb {C}$ Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen $f$ äquivalent:

(HK1) 1x komplex differenzierbar

Die Funktion $f$ ist einmal komplex differenzierbar auf $U$ .

(HK2) beliebig oft komplex differenzierbar

Die Funktion $f$ ist beliebig oft komplex differenzierbar auf $U$ .

(HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf $U$ .

(HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar

Die Funktion lässt sich lokal auf $U$ in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.

(HK5) Wegintegrale 0

Die Funktion $f$ ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet (d.h. Umlaufzahl des Wegintegrals für alle Punkte aus dem Komplement von $U$ ist 0).

(HK6) Cauchysche Integralformel

Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.

(HK7) Cauchy-Riemann-Operator

$f$ ist reell differenzierbar und es gilt
$\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$
wobei ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)$ definiert ist.

Aufgaben

Seinen $a,z_{o}\in \mathbb {C}$ beliebig gewählt, es gelte $a\neq z_{o}$ . Entwickeln Sie nun den Funktion $f(z):={\frac {1}{z-a}}$ für $z\in \mathbb {C} \setminus \{a\}$ in eine Potenzreihe um $z_{o}\in \mathbb {C}$ und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

f(z)={\frac {1}{z-a}}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }-{\frac {1}{(a-z_{o})^{n+1}}}\cdot (z-z_{o})^{n}

Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der Konvergenzradius in der berechneten Weise von $a,z_{o}\in \mathbb {C}$ abhängt und nicht größer sein kann!
Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion $f$ auch folgt, dass $f$ unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz $\mathbb {R}$ definierte Funktion $g(x):=x\cdot |x|$ .
Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!

Siehe auch

Quellen