Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

Definition

Es sei $\Gamma$ ein Zyklus in $\mathbb {C}$, und $z\in \mathbb {C}$ ein Punkt, den $\Gamma$ nicht trifft. Dann heißt

$n(\Gamma ,z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw$

die Umlaufzahl von $\Gamma$ um $z$.

Motivation

Betrachten wir zunächst den Fall, dass $\Gamma =\gamma$ nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist $\gamma$ in $\mathbb {C} \setminus \{z\}$ homolog zu einem $n$-fach (für ein $n\in \mathbb {Z}$) durchlaufenen Kreis $\partial D_{r}(z)$ um $z$ mit $r>0$. Nun ist

$\int _{\gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw=\int _{n\cdot \partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=n\int _{\partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=2\pi i\cdot n$

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve $\gamma$ den Punkt $z$ umläuft.

Aufgabe

Sei der geschlossene Integrationweg $\gamma :[-\pi ,+\pi ]\to \mathbb {C}$ wie folgt definiert:

$\gamma (t):=\left(2+cos(t)\right)\cdot e^{2it}$

• Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
• Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,1+i)$ an.
• Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,0)$ an.
• Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,1)$ an.

Additivität des Integrals

Für einen Zyklus $\Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot \gamma _{i}$ mit geschlossenen $\gamma _{i}$ ist wegen der Additivität des Integrals gerade

$n(\Gamma ,z)=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot n(\gamma _{i},z)$

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt $z$ umlaufen wird.

Länge des Zyklus

Für einen Zyklus $\Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}$ mit geschlossenen $\gamma _{i}$ wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

$L(\Gamma ):=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot L(\gamma _{i}).$

Siehe auch

• Cauchysche Integralformel für Zyklen