Homomorphismenraum/Totale Auswertung/Nicht linear/Bemerkung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Wir betrachten die natürliche Abbildung

$\Psi \colon V\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,(v,\varphi )\longmapsto \varphi (v),$

wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits

${}\varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})\,$

und andererseits

${}{\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(v)=\varphi _{1}(v)+\varphi _{2}(v)\,,$

wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität (und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation) in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt

${}(v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2})=(v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2})\,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\Psi ((v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2}))&=\Psi ((v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2}))\\&={\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}+\varphi _{2}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&\neq \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&=\Psi ((v_{1},\varphi _{1}))+\Psi ((v_{2},\varphi _{2}))\end{aligned}}$

(nur in Ausnahmefällen ist ${}\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})=0$).