Hyperbolische Fläche/Kreisscheibe/Halbebene/Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach Aufgabe in reellen Koordinaten durch

${}\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach Aufgabe gleich

${}{\frac {\partial \psi }{\partial a}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\frac {\partial \psi }{\partial b}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4a-2-2a^{2}+2b^{2}\\4ab-4b\end{pmatrix}}\,.$

Wir müssen zeigen, dass

${}\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle _{V,(a,b)}=\left\langle {\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle _{H,\psi (a,b)}\,$

ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für ${}i=j$ gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Vert {{\frac {\partial \psi }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&=\Vert {{\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&={\frac {\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}}\Vert {{\frac {2}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2(a-1)b\\{\left(a-1\right)}^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert \\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\sqrt {4(a-1)^{2}b^{2}+{\left(a-1\right)}^{4}+b^{4}-2{\left(a-1\right)}^{2}b^{2}}}\\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}\\&={\frac {2}{\left(1-{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)}}\\&=\Vert {e_{1}}\Vert _{V,(a,b)}.\,\end{aligned}}$

Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.

Zur bewiesenen Aussage