Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt/Beweis

Beweis

Sei

${}f=f_{k}+f_{k+1}+\cdots +f_{m}\,$

mit ${}f_{k}=\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }X^{\nu }\neq 0$. Wie aus dem Beweis zu Fakt im homogenen Fall (${}b=0$) ersichtlich ist, hängen die homogenen Komponenten der Einsetzung nur von den homogenen Komponenten von ${}f$ ab. Insbesondere ist

${}(f\circ \alpha )_{k}=f_{k}\circ \alpha =\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }a^{\nu }t^{k}\,$

und ${}(f\circ \alpha )_{\ell }=0$ für ${}\ell <k$. Somit ist ${}0$ eine zumindest ${}k$-fache Nullstelle von ${}f\circ \alpha$, und genau dann eine ${}k$-fache Nullstelle, wenn der Koeffizient ${}\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }a^{\nu }t^{k}$ nicht ${}0$ ist. Diese Bedingung ist auf einer nichtleeren offenen Teilmenge des ${}K^{n}$ erfüllt.

Zur bewiesenen Aussage